Poincaré erklärte seine Motivation zur Gründung eines neuen Zweigs der Mathematik, der sich der Topologie widmet, oder „das Studium geometrischer Objekte, die sich einer Verformung unterziehen“, „Gummiplattengeometrie“, in Analysis Situs mit der Aussage (1895):

“ Auf einem bien souvent répété que la Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites; encoreces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines conditions; les proportions peuvant être grossèrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées.“

Das heißt, dass es ein Bedürfnis für Mathematiker gab, mit Sicherheit feststellen zu können, dass unsere Encoreces-Figuren ’schlecht gezeichnete Figuren‘ bestimmte Bedingungen erfüllen müssen, so dass, obwohl ihre ‚Proportionen grob verändert werden können‘, dass die ‚relativen Positionen der verschiedenen Teile nicht gestört werden dürfen‘. Die Aussage stimmt eng mit der modernen Definition der Topologie überein:

Topologie ist die Untersuchung der Eigenschaften eines geometrischen Objekts, das unter kontinuierlichen Verformungen wie Dehnen, Verdrehen, Zerknittern und Biegen erhalten bleibt, jedoch nicht reißt oder klebt.

Über die Analyse Situs (1892)

In seinem ersten Papier (Brief, wirklich) auf Topologie, Poincaré legt die erste echte Primer auf Topologie, Analysis Situs (1895). Er bezieht sich dabei auf die etwa 20 Jahre zuvor eingeführten Betti-Zahlen. Sein Argument oder seine Frage an den Leser ist, ob Betti-Zahlen tatsächlich ausreichen, um die topologische Klassifikation einer Mannigfaltigkeit zu bestimmen. Um zu zeigen, warum dies nicht möglich ist, führte er das Konzept einer fundamentalen Gruppe π₁ ein. Informell kann eine grundlegende Gruppe auf folgende Weise betrachtet werden:

Start with a space (e.g. a surface), and some point in it, and all the loops both starting and ending at this point — paths that start at this point, wander around and eventually return to the starting point. Two loops can be combined together in an obvious way: travel along the first loop, then along the second. Two loops are considered equivalent if one can be deformed into the other without breaking. The set of all such loops with this method of combining and this equivalence between them is the fundamental group for that particular space.

Als nächstes beschreibt er eine Familie dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten und zeigt, dass bestimmte dieser Mannigfaltigkeiten die gleichen Betti-Zahlen haben, aber zu verschiedenen fundamentalen Gruppen gehören (Stillwell 2010, S. 6). Daraus argumentiert er, dass, wenn die fundamentale Gruppe eine topologische Invariante ist (eine Eigenschaft, die während Homöomorphismen erhalten bleibt), diese Betti-Zahlen allein dreidimensionale Mannigfaltigkeiten nicht voneinander unterscheiden können.

Analysis Situs (1895)

Die spätere Poincaré-Vermutung (1904) existierte 1895 tatsächlich nicht, da Poincaré zu diesem Zeitpunkt laut Stillwell (2010) es wahrscheinlich für offensichtlich hielt, dass alle einfach verbundenen n-dimensionalen geschlossenen Mannigfaltigkeiten homöomorph zur n-Kugel wären, d. H. dass alle diese Mannigfaltigkeiten ihre topologischen Eigenschaften beibehalten würden, wenn sie in n-Dimensionen zur Form einer Kugel verformt würden. Schließlich war das gleiche Ergebnis seit der Zeit Riemanns für 1- und 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten bekannt.

Die Analyse Situs zielt vielmehr darauf ab, die Betti-Zahlen auf der Suche nach einer solideren Grundlage zu überarbeiten und zu ergänzen, da seine eigene Argumentation aus drei Jahren zuvor vorliegt. Das Papier arbeitet auf mehreren Wegen auf dieses Ziel hin. Er beginnt mit der Einführung, wie so oft in der Forschung, einer Begründung dafür, warum die Arbeit wertvoll ist, und erklärt: „Die Geometrie von n Dimensionen ist ein reales Objekt, daran zweifelt heutzutage niemand mehr. Figuren im Hyperraum sind ebenso anfällig für genaue Definitionen wie solche im gewöhnlichen Raum, und selbst wenn wir sie nicht darstellen können, können wir sie uns dennoch vorstellen und studieren. Wenn also die Mechanik von mehr als drei Dimensionen als objektlos verurteilt werden soll, kann dies nicht von der Hypergeometrie gesagt werden“ (Stillwell, 2010).

La Géométrie à n dimensions a un objet réel; personne n’en doute aujourd’hui

Poincaré präsentiert unter den zahlreichen großen Entdeckungen in Analysis Situs die Grundlagen für die spätere Homologietheorie, eine Möglichkeit, eine Folge algebraischer Strukturen wie abelsche Gruppen oder Module mit anderen mathematischen Objekten wie topologischen Räumen zu verknüpfen. Er kommt dorthin, indem er ein System zur Berechnung von Betti-Zahlen aufbaut, indem er annimmt, dass jede Mannigfaltigkeit in Zellen zerlegt werden kann, die homöomorph zu Simplizen sind (im Wesentlichen Tetraeder in n-Dimensionen), lineare Gleichungen, die er Homologien nannte, abliest und die entsprechenden Betti-Zahlen berechnet durch lineare Algebra (Stillwell 2012, S.557). Wie Scholz (1980) es ausdrückte: „Die erste Phase der algebraischen Topologie, die von Poincaré eingeleitet wurde, zeichnet sich dadurch aus, dass sich ihre algebraischen Beziehungen und Operationen immer mit topologischen Objekten befassen.“

Mit seiner neuen Homologietheorie liefert Poincaré als nächstes den Poincaré-Dualitätssatz für die Betti-Zahlen für eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, indem er das Dual der Zellzerlegung berücksichtigt. Der Dualitätssatz besagt, dass Betti-Zahlen mit gleichem Abstand von den ‚Enden‘, dh oberen und unteren Dimensionen, gleich sind. Insbesondere für eine 3-Mannigfaltigkeit entspricht die 2-dimensionale Betti-Zahl der 1-dimensionalen Betti-Zahl (Stillwell, 2012).

Später in derselben Arbeit liefert Poincaré auch eine Verallgemeinerung der Euler-Polyederformel auf beliebige Dimensionen und bezieht sie auf seine Homologietheorie (Stillwell, 2010). Er gibt auch neue Beispiele für fundamentale Gruppen, die feststellen, dass π₁ eine stärkere Invariante als die Betti-Zahlen ist, indem er gegenüberliegende Flächen eines Oktaeders mit den gleichen Betti-Zahlen wie die 3-Kugel identifiziert, aber wiederum eine andere fundamentale Gruppe (nämlich die zyklische Gruppe). Das Ergebnis seiner Entdeckungen ist, dass für 0-, 1- und 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten die Betti-Zahlen ausreichen, um sie voneinander zu unterscheiden, aber dass für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten die fundamentale Gruppe wichtig wird. Wie wichtig, kann Poincaré an dieser Stelle (1895) nicht beantworten.

Im Nachhinein, wie Stillwell (2010) schreibt, wird die Analysis Situs aufgrund von Poincarés Konstruktion der Homologietheorie und der Etablierung der Fundamentalgruppe zu Recht als Ursprung der algebraischen Topologie angesehen. Für die Homologietheorie war es wichtig, dass sie zeigte, dass es eine algebraische Struktur gibt, aus der die Betti-Zahlen (und damit die Euler-Eigenschaft) hervorgehen. Die Entdeckung der fundamentalen Gruppe hob die fehlende Kraft der Betti-Zahlen als Indikator für die Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten hervor.

Erste und zweite Ergänzungen zu Analysis Situs (1899-1900)

Analysis Situs wurde, obwohl brillant erfinderisch, nicht ohne Verwirrung oder Fehler bereitgestellt (Stillwell, 2010). Als Poincaré in einem Niemandsland forschte, entdeckte er erst später, dass Betti-Zahlen nur ein Teil der Geschichte waren, ein Versehen, auf das er drei Jahre später mit der These eines dänischen Doktoranden, Poul Heegaard, aufmerksam gemacht wurde.

Poincaré schrieb 1899 seine erste Beilage mit dem Titel Complément a l’analysis situs („Beilage zur Analyse Situs“). Das Papier wurde durch die Entdeckung von Heegaard (1898) motiviert, dass Poincarés neue Definition von Betti-Zahlen im Widerspruch zu seinem Dualitätssatz stehen könnte. Heegaard kontrastiert das Beispiel des realen projektiven Raumes RP3 mit dem Beispiel der 3-Kugel und zeigt, dass Poincaré die Auswirkungen der Torsion, des „Verdrehens“, nicht berücksichtigt hat. Nach dem ersten Schritt zu einer kombinatorischeren Homologietheorie, in der Mannigfaltigkeiten angenommen werden, dass sie eine polyedrische Struktur haben, überarbeitet Poincaré in seinen Ergänzungen (manchmal von Poincaré als Komplemente bezeichnet) schließlich seine Homologietheorie, um Torsionszahlen zusätzlich zu Betti-Zahlen zu erzeugen, die sich als invariant erwiesen haben das sogenannte Hauptvermutungsargument (zwei beliebige Triangulationen eines triangulierbaren Raums haben Unterteilungen, die kombinatorisch äquivalent sind), jetzt bekannt als falsch. Die Einbeziehung stärkte die Homologietheorie, um zwischen Mannigfaltigkeiten, die Torsion erfahren, voneinander unterscheiden zu können (einschließlich RP3 und der 3-Kugel). Poincaré prägte den Begriff Torsion in der Tat durch eine Diskussion über nicht orientierbare Oberflächen wie das Möbiusband (Stillwell, 2010).

In der zweiten Beilage (1900) ermutigt ihn Poincarés jetzt robusterer Homologiesatz, seine Arbeit mit der Aussage zu beenden:

“ Jedes Polyeder, das alle seine Betti-Zahlen gleich 1 und alle seine Tabellen Tq ausrichtbar hat, wird einfach verbunden, d.h. homeomorph zu einer Hypersphäre“

Effektiv vermuten, dass

“ Jede Drei-Mannigfaltigkeit mit trivialer Homologie ist homöomorph zur 3-Kugel“

Eine erste (und falsche) Poincaré-Vermutung über die topologischen Eigenschaften dreidimensionaler Körper, die sich verformen.

Dritte und vierte Ergänzung zur Analyse Situs (1902)

In Bezug auf 3-Mannigfaltigkeiten und die spätere Poincaré-Vermutung liegt die Relevanz der dritten und vierten Ergänzung (abgesehen von der Erweiterung der Homologietheorie von Poincaré und der algebraischen Topologie) in ihrer Untersuchung von Torusbündeln, von denen gezeigt wird, dass sie bei der Untersuchung algebraischer Kurven auf natürliche Weise entstehen, der Schwerpunkt der dritten Ergänzung „Auf bestimmten algebraischen Oberflächen“ ( 1902a) (Stillwell, 2010).

Fünfte Beilage zur Analysis Situs (1904)

Poincaré veröffentlichte 1904 seine fünfte und letzte Beilage zu seiner Analysis situs-Arbeit von 1895. Die Arbeit bezieht sich auf dreidimensionale Mannigfaltigkeiten (wie das Glome aus unserer Einführung) und trägt den Titel Cinquième complément à l’analysis situs. Das Papier ist jetzt bekannt für Poincarés Studie, ob 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten durch das gleiche Unterscheidungsmerkmal wie 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten beschrieben werden können, nämlich dass jede einfache geschlossene Kurve in der Kugel kontinuierlich zu einem Punkt verformt werden kann, ohne die Kugel zu verlassen. Wie Poincaré selbst in seiner Einleitung schreibt:

This time I confine myself to the study of certain three-dimensional manifolds, but the methods used without doubt are of more general applicability. I shall devote considerable space to certain properties of closed curves which can be traced on closed surfaces in ordinary space.

Die Arbeit befasst sich nicht mit einer Untersuchung einfach verbundener, geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten, sondern mit einer Untersuchung der Unterschiede zwischen Homologie und der umfassenderen Homotopietheorie im Fall von Kurven auf Oberflächen über die Untersuchung grundlegender Gruppen (Stillwell, 2012). Das Ergebnis ist ein interessanter geometrischer Algorithmus, um zu entscheiden, ob eine Kurve auf einer Oberfläche homotop zu einer einfachen Kurve ist, der erste bekannte Fall der Anwendung der Geometrisierung auf die Topologie, der später die Arbeit von Dehn (1910; 1912a; 1912b; 1922), Nielsen (1927; 1929; 1932) und Thurston (1979). Das Papier untersucht verschiedene andere Eigenschaften von Kurven auf Oberflächen und ihre Rolle bei der Konstruktion dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten (Stillwell, 2010).

Auf den letzten Seiten des Papiers führt Poincarés Untersuchung zu einer neuen Entdeckung, der Homologiesphäre, die ‚Poincaré-Homologiesphäre‘ genannt wird, einer 3-Mannigfaltigkeit mit der gleichen Homologie wie die 3-Kugel, aber einer anderen fundamentalen Gruppe. Als Existenzbeweis weist die Entdeckung Poincarés anfängliche Vermutung über die Beziehung zwischen 3-Mannigfaltigkeiten und 3-Sphären aus dem Jahr 1902 sofort zurück. Er konstruiert das Objekt, indem er zwei „gefüllte“ Körper der Gattung 2 (sogenannte Handlebodies) so verbindet, dass bestimmte sorgfältig ausgewählte Kurven auf der einen mit Kurven mit ganz bestimmten Eigenschaften auf der anderen identifiziert werden. Daraus erhält er eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, deren Grundgruppe einfach in Bezug auf ihre Generatoren und Beziehungen niedergeschrieben werden kann. „Durch ein Wunder“ (Stillwell, 2012) stellt sich heraus, dass die Grundgruppe der Poincaré-Homologiesphäre die Generatoren a und b hat, deren Beziehung lautet:

a⁴ba-1b = b-2a-1ba⁻1 = 1

Als scheinbar völlig asymmetrisches Objekt ist die Homologiesphäre in der Tat außergewöhnlich symmetrisch und kann leicht als nicht trivial (von Dimension 2 oder höher) gezeigt werden, indem (a⁻1b) 2 = 1 gesetzt wird, was sie der ikosaedrischen Gruppe mit 60 Elementen zuordnet a⁵ = b3 = (a-1b) 2 = 1. Indem man gleichzeitig die Generatoren pendeln lässt, stellt man fest, dass das Objekt zu einem einzigen Element zusammenfällt, 1, was zeigt, dass die Homologie der Mannigfaltigkeit trivial sein muss. Daher ist die Homologiesphäre tatsächlich eine geschlossene dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit trivialer Homologie, aber einer nicht trivialen fundamentalen Gruppe. Die Entdeckung dieser Gewissheit demonstrierte für Poincaré erneut die Macht seiner fundamentalen Gruppe über die Homologie zur Unterscheidung von 3-Mannigfaltigkeiten und legte einen letzten Nagel in den Sarg für seine erste und fehlerhafte Vermutung über die Nützlichkeit der Homologie, um zu demonstrieren, dass alle 3-Mannigfaltigkeiten homöomorph zur 3-Kugel sind.

Poincaré beendet die fünfte Beilage zu seiner Analyse Situs mit einer Frage:

Is it possible for the fundamental group of a manifold to reduce to the identity without the manifold being simply connected?

..und eine Verschleierung:

“ Diese Frage würde uns zu weit wegführen.“

„Diese Frage würde uns zu weit bringen“ – Poincaré

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