Poincaré declaró su motivación para establecer una nueva rama de las matemáticas dedicada a la topología, o «el estudio de objetos geométricos sometidos a deformación», «geometría de lámina de goma», en Análisis Situs con la declaración (1895):

«On a bien souvent répété que la Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites; encoreces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines conditions; las proporciones pueden ser grossièrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées.»

Es decir, que había una necesidad de que los matemáticos sean capaces de determinar con certeza que nuestras figuras encoreces «figuras mal dibujadas» deben satisfacer ciertas condiciones tales que, a pesar de que sus «proporciones pueden alterarse groseramente», que las «posiciones relativas de las diferentes partes no deben alterarse». La declaración se alinea estrechamente con la definición moderna de topología:

La topología es el estudio de las propiedades de un objeto geométrico que se conserva bajo deformaciones continuas, como estirar, torcer, arrugar y doblar, pero sin desgarrar ni pegar.

On Analysis Situs (1892)

En su primer artículo (letter, really) sobre topología, Poincaré se propone motivar la primera cartilla real sobre topología, Analysis Situs (1895). Lo hace refiriéndose a los números de Betti introducidos unos 20 años antes. Su argumento, o pregunta al lector, es si los números de Betti en realidad son suficientes para determinar la clasificación topológica de una variedad. Para mostrar por qué no, introdujo el concepto de un grupo fundamental π₁. Informalmente, se puede pensar en un grupo fundamental de la siguiente manera:

Start with a space (e.g. a surface), and some point in it, and all the loops both starting and ending at this point — paths that start at this point, wander around and eventually return to the starting point. Two loops can be combined together in an obvious way: travel along the first loop, then along the second. Two loops are considered equivalent if one can be deformed into the other without breaking. The set of all such loops with this method of combining and this equivalence between them is the fundamental group for that particular space.

A continuación describe una familia de variedades tridimensionales y muestra que algunas de estas variedades tienen los mismos números de Betti, pero pertenecen a diferentes grupos fundamentales (Stillwell 2010, p. 6). A partir de esto, argumenta que si el grupo fundamental es un invariante topológico (una propiedad conservada mientras experimenta homeomorfismos), los números de Betti por sí solos no pueden distinguir las variedades tridimensionales entre sí.

Análisis Situs (1895)

La conjetura posterior de Poincaré (1904) de hecho no existía en 1895, ya que de acuerdo con Stillwell (2010), Poincaré en este punto probablemente pensó que era obvio que todas las variedades cerradas n-dimensionales simplemente conectadas serían homeomorfas a la n-esfera, es decir. que todas estas variedades conservarían sus propiedades topológicas si se deformaran a la forma de una esfera en n dimensiones. Después de todo, se sabía que el mismo resultado era cierto para las variedades de 1 y 2 dimensiones desde la época de Riemann.

El Análisis Situs se propone, más bien, revisar y complementar los números de Betti en busca de una base más sólida, dada su propia argumentación de tres años antes. El documento trabaja hacia este objetivo por varios caminos. Comienza introduciendo, como suele ser el caso en la investigación, una justificación de por qué el trabajo es valioso, afirmando que » La geometría de n dimensiones es un objeto real, nadie lo duda hoy en día. Las figuras en el hiperespacio son tan susceptibles a una definición precisa como las del espacio ordinario, e incluso si no podemos representarlas, todavía podemos concebirlas y estudiarlas. Por lo tanto, si la mecánica de más de tres dimensiones debe condenarse como carente de objeto, no se puede decir lo mismo de la hipergeometría» (Stillwell, 2010).

La Géométrie à n dimensions a un objet réel; personne n’en doute aujourd’hui

Entre los múltiples grandes descubrimientos en el Análisis Situs, Poincaré presenta los fundamentos de lo que más tarde se llamaría teoría de la homología, una forma de asociar una secuencia de estructuras algebraicas como grupos abelianos o módulos con otros objetos matemáticos como espacios topológicos. Él llega allí estableciendo un sistema para calcular los números de Betti asumiendo que cada variedad puede descomponerse en células que son homeomorfas a simplices (esencialmente tetraedros en dimensiones n), leyendo ecuaciones lineales que llamó homologías y computando los números de Betti correspondientes por álgebra lineal (Stillwell 2012, p. 557). Como dijo Scholz (1980): «La primera fase de la topología algebraica, inaugurada por Poincaré, se caracteriza por el hecho de que sus relaciones y operaciones algebraicas siempre tratan con objetos topológicos.»

Usando su nueva teoría de homología, Poincaré proporciona el teorema de dualidad de Poincaré para los números de Betti para una variedad n-dimensional, considerando el dual de la descomposición celular. El teorema de dualidad establece que los números de Betti de la misma distancia desde los ‘extremos’, es decir, las dimensiones superior e inferior, son iguales. En particular, para un colector de 3, el número de Betti de 2 dimensiones es igual al número de Betti de 1 dimensión (Stillwell, 2012).

Más adelante en el mismo artículo, Poincaré también proporciona una generalización de la fórmula de poliedro de Euler a dimensiones arbitrarias, y la relaciona con su teoría de homología (Stillwell, 2010). También da nuevos ejemplos de grupos fundamentales que establecen que π₁ es un invariante más fuerte que los números de Betti, identificando caras opuestas de un octaedro con los mismos números de Betti que la esfera 3, pero de nuevo, un grupo fundamental diferente (a saber, el grupo cíclico). La conclusión de sus descubrimientos es que para las variedades de 0, 1 y 2 dimensiones, los números de Betti bastan para distinguirlas entre sí, pero que para las variedades tridimensionales, el grupo fundamental se vuelve importante. Qué importante, Poincaré en este punto (1895) no puede responder.

En retrospectiva, como escribe Stillwell (2010), debido a la construcción de Poincaré de la teoría de la homología y el establecimiento del grupo fundamental, el análisis Situs es considerado con razón como el origen de la topología algebraica. En cuanto a la teoría de la homología, la importancia de su establecimiento fue que reveló que hay una estructura algebraica que da lugar a los números de Betti (y por lo tanto a la característica de Euler). El descubrimiento del grupo fundamental puso de relieve la falta de poder de los números de Betti como indicador de las propiedades de los colectores.

Primeros y segundos suplementos del Análisis Situs (1899-1900)

El análisis Situs, aunque brillantemente inventivo, se proporcionó no sin confusión o error (Stillwell, 2010). Explorando en una especie de «tierra de nadie», Poincaré descubrió más tarde que los números de Betti eran solo una parte de la historia, un descuido del que se daría cuenta tres años más tarde con la tesis de un estudiante de doctorado danés, Poul Heegaard.

Poincaré escribió su primer suplemento, titulado Complément a l’analyse situs («Suplemento al Análisis Situs») en 1899. El artículo fue motivado por el descubrimiento de Heegaard (1898) de que la nueva definición de números de Betti de Poincaré podría estar en conflicto con su teorema de dualidad. Heegaard contrasta el ejemplo del espacio proyectivo real RP3 con el ejemplo de la esfera 3 y muestra que Poincaré no había tenido en cuenta los efectos de la torsión, «torsión». Después de avanzar hacia una teoría de homología más combinatoria, en la que se supone que las variedades tienen una estructura poliédrica, en sus suplementos (a veces referidos por Poincaré como complementos) Poincaré finalmente revisa su teoría de homología para producir números de torsión además de los números de Betti, que demostraron ser invariantes utilizando el llamado argumento Hauptvermutung (dos triangulaciones cualesquiera de un espacio triangulable tienen subdivisiones que son combinatoriamente equivalentes), ahora se sabe que son falsas. La inclusión fortaleció la teoría de la homología para poder distinguir entre colectores sometidos a torsión entre sí (incluyendo RP3 y la 3-esfera). De hecho, Poincaré acuñó el término «torsión» a través de una discusión de superficies no orientables como la banda de Möbius (Stillwell, 2010).

En el artículo del segundo suplemento (1900), el teorema de homología ahora más robusto de Poincaré lo anima a terminar su artículo con la declaración:

«Cada poliedro que tiene todos sus números Betti iguales a 1 y todas sus tablas orientables Tq está simplemente conectado, p.ej. homeomórfico a una hiperesfera»

Conjeturar efectivamente que

«Cualquier variedad de tres con homología trivial es homeomorfa a la esfera de 3»

A first (and incorrect) Poincaré conjeture about the topological properties of three-dimensional bodies undergoing deformation.

Suplementos Tercero y cuarto de Analysis Situs (1902)

En términos de 3 variedades y la conjetura posterior de Poincaré, la relevancia de los suplementos tercero y cuarto (aparte de expandir la teoría de homología de Poincaré y la topología algebraica) está en su estudio de haces torales, que se muestran que surgen naturalmente en el estudio de curvas algebraicas, el enfoque del tercer suplemento «En ciertas superficies algebraicas» (en inglés). 1902a) (Stillwell, 2010).

Quinto suplemento de Análisis Situs (1904)

Poincaré publicó su quinto y último suplemento de su artículo de Análisis situs de 1895 en 1904. El artículo se refiere a variedades tridimensionales (como la gloma de nuestra introducción) y se titula Cinquième complément à l’analysis situs. El artículo es ahora conocido por el estudio de Poincaré de si las variedades de 3 dimensiones pueden describirse por la misma característica distintiva que las variedades de 2 dimensiones, a saber, que cada curva cerrada simple en la esfera puede deformarse continuamente hasta un punto sin salir de la esfera. Como el propio Poincaré escribe en su introducción:

This time I confine myself to the study of certain three-dimensional manifolds, but the methods used without doubt are of more general applicability. I shall devote considerable space to certain properties of closed curves which can be traced on closed surfaces in ordinary space.

El trabajo no se plantea con una investigación de 3 colectores simplemente conectados y cerrados, sino con un estudio de las diferencias entre la homología y la teoría de la homotopía más extensa, en el caso de las curvas en superficies a través del estudio de grupos fundamentales (Stillwell, 2012). El resultado es un interesante algoritmo geométrico para decidir si una curva en una superficie es homotópica a una curva simple, el primer caso conocido de aplicación de geometrización a la topología, que más tarde inspiraría el trabajo de Dehn( 1910; 1912a; 1912b; 1922), Nielsen (1927; 1929; 1932), y Thurston (1979). El artículo continúa investigando otras propiedades de curvas en superficies y su papel en la construcción de colectores tridimensionales (Stillwell, 2010).

En las páginas finales del artículo, la investigación de Poincaré conduce a un nuevo descubrimiento, la esfera de homología llamada «Esfera de homología de Poincaré», una variedad de 3 con la misma homología que la esfera de 3, pero un grupo fundamental diferente. Como prueba de existencia, el descubrimiento rechaza inmediatamente la conjetura inicial de Poincaré sobre la relación entre 3 variedades y 3 esferas de 1902. Construye el objeto uniendo dos cuerpos «llenos» del género 2 (los llamados handlebodies) para que ciertas curvas cuidadosamente elegidas en uno de ellos se identifiquen con curvas con propiedades muy particulares en el otro. De esto, obtiene una variedad tridimensional cuyo grupo fundamental se puede escribir simplemente en términos de sus generadores y relaciones. «Por algún milagro» (Stillwell, 2012), el grupo fundamental de la esfera de homología de Poincaré resulta tener generadores a y b cuya relación es:

a⁴ba-1b = b-2a-1ba⁻1 = 1

Un objeto aparentemente totalmente asimétrico, la esfera de homología es de hecho excepcionalmente simétrica y se demuestra fácilmente que es no trivial (de dimensión 2 o superior) estableciendo (a⁻1b)2 = 1, lo que la asigna al grupo icosaédrico de 60 elementos a = = b3 = (a-1b)2 = 1. Al mismo tiempo, al permitir que los generadores viajen, uno encuentra que el objeto colapsa en un solo elemento, 1, mostrando que la homología de la variedad debe ser trivial. Por lo tanto, la esfera de homología es de hecho una variedad tridimensional cerrada con homología trivial, pero un grupo fundamental no trivial. El descubrimiento de esta certeza volvió a demostrar para Poincaré el poder de su grupo fundamental sobre la homología para distinguir las 3 variedades, y puso un clavo final en el ataúd para su primera y defectuosa conjetura sobre la utilidad de la homología para demostrar que todas las 3 variedades son homeomorfas a la 3 esfera.

Poincaré termina el quinto suplemento de su Análisis Situs con una pregunta:

Is it possible for the fundamental group of a manifold to reduce to the identity without the manifold being simply connected?

..y una ofuscación:

«Esta pregunta nos llevaría demasiado lejos.»

» Esta pregunta nos llevaría demasiado lejos» – Poincaré

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.