Poincaré ha dichiarato la sua motivazione per l’istituzione di un nuovo ramo della matematica che si occupa di topologia, o “lo studio di oggetti geometrici in fase di deformazione’, “gomma-foglio di geometria”, in Analysis Situs con l’istruzione (1895):

“Su un bien souvent répété que la géométrie elémentaire est de l’art de bien raisonner sur des figures mal faites; encoreces figure, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à lunari per alcune condizioni; les proportions peuvant être grossièrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées.”

Vale a dire, che c’era la necessità che i matematici fossero in grado di determinare con certezza che le nostre figure encoreces “figure mal disegnate” devono soddisfare determinate condizioni tali che, anche se le loro “proporzioni possono essere grossolanamente alterate”, che le “posizioni relative delle diverse parti non devono essere sconvolte”. La dichiarazione si allinea strettamente con la moderna definizione di topologia:

La topologia è lo studio delle proprietà di un oggetto geometrico che viene conservato sotto deformazioni continue, come stiramento, torsione, accartocciamento e piegatura, ma non strappo o incollaggio.

Su Analisi Situs (1892)

Nel suo primo documento (lettera, davvero) sulla topologia, Poincaré si propone di motivare il primo vero primer sulla topologia, Analisi Situs (1895). Lo fa facendo riferimento ai numeri Betti introdotti circa 20 anni prima. Il suo argomento, o domanda al lettore, è se i numeri Betti effettivamente sufficiente per determinare la classificazione topologica di una varietà. Per mostrare perché non possono, ha introdotto il concetto di un gruppo fondamentale π₁. Informalmente, un gruppo fondamentale può essere pensato nel modo seguente:

Start with a space (e.g. a surface), and some point in it, and all the loops both starting and ending at this point — paths that start at this point, wander around and eventually return to the starting point. Two loops can be combined together in an obvious way: travel along the first loop, then along the second. Two loops are considered equivalent if one can be deformed into the other without breaking. The set of all such loops with this method of combining and this equivalence between them is the fundamental group for that particular space.

Successivamente descrive una famiglia di collettori tridimensionali e mostra che alcuni di questi collettori hanno gli stessi numeri di Betti, ma appartengono a diversi gruppi fondamentali (Stillwell 2010, p. 6). Da ciò, egli sostiene che se il gruppo fondamentale è un invariante topologico (una proprietà preservata mentre subisce omeomorfismi), che i numeri di Betti da soli non possono distinguere le varietà tridimensionali l’una dall’altra.

Analysis Situs (1895)

La successiva congettura di Poincaré (1904) in realtà non esisteva nel 1895, poiché secondo Stillwell (2010), Poincaré a questo punto probabilmente riteneva ovvio che tutti i collettori chiusi n-dimensionali semplicemente collegati sarebbero omeomorfi alla sfera n, cioè che tutte queste varietà conserverebbero le loro proprietà topologiche se deformate alla forma di una sfera in n-dimensioni. Dopo tutto, lo stesso risultato era noto per essere vero per i collettori 1 e 2 dimensionali fin dai tempi di Riemann.

L’Analisi Situs si propone, piuttosto, di rivedere e integrare i numeri di Betti alla ricerca di una base più solida, data la sua argomentazione di tre anni prima. La carta lavora verso questo obiettivo da diversi percorsi. Inizia introducendo, come spesso accade nella ricerca, una giustificazione per il motivo per cui l’opera è preziosa, affermando che “La geometria di n dimensioni è un oggetto reale, nessuno lo dubita al giorno d’oggi. Le figure nell’iperspazio sono suscettibili di definizione precisa come quelle nello spazio ordinario, e anche se non possiamo rappresentarle, possiamo ancora concepirle e studiarle. Quindi, se la meccanica di più di tre dimensioni deve essere condannata come priva di oggetto, lo stesso non si può dire dell’ipergeometria” (Stillwell, 2010).

La Géométrie à n dimensions a un objet réel; personne n’en doute aujourd’hui

Tra le molteplici grandi scoperte in Analisi Situs, Poincaré presenta le basi per quella che in seguito sarebbe chiamata teoria dell’omologia, un modo di associare una sequenza di strutture algebriche come gruppi abeliani o moduli con altri oggetti matematici come spazi topologici. Arriva lì impostando un sistema per calcolare i numeri di Betti assumendo che ogni varietà possa essere scomposta in celle omeomorfe a simplices (essenzialmente tetraedri in n-dimensioni), leggendo le equazioni lineari che ha chiamato omologie e calcolando i corrispondenti numeri di Betti per algebra lineare (Stillwell 2012, p.557). Come Scholz (1980) ha detto: “La prima fase della topologia algebrica, inaugurata da Poincaré, è caratterizzata dal fatto che le sue relazioni algebriche e le sue operazioni riguardano sempre oggetti topologici.”

Usando la sua nuova teoria dell’omologia, Poincaré next fornisce il teorema della dualità di Poincaré per i numeri di Betti per una varietà n-dimensionale, considerando il duale della decomposizione cellulare. Il teorema della dualità afferma che i numeri di Betti della stessa distanza dalle “estremità”, cioè le dimensioni superiore e inferiore, sono uguali. In particolare, per un 3-collettore il numero di Betti 2-dimensionale è uguale al numero di Betti 1-dimensionale (Stillwell, 2012).

Più avanti nello stesso articolo, Poincaré fornisce anche una generalizzazione della formula del poliedro di Eulero a dimensioni arbitrarie e la mette in relazione con la sua teoria dell’omologia (Stillwell, 2010). Fornisce anche nuovi esempi di gruppi fondamentali che stabiliscono che π₁ è un invariante più forte dei numeri di Betti, identificando le facce opposte di un ottaedro con gli stessi numeri di Betti come la 3-sfera, ma ancora una volta, un diverso gruppo fondamentale (vale a dire il gruppo ciclico). Il take-away dalle sue scoperte è che per le varietà 0, 1 e 2 dimensionali, i numeri di Betti sono sufficienti per distinguerli tra loro, ma che per le varietà tridimensionali, il gruppo fondamentale diventa importante. Quanto sia importante, Poincaré a questo punto (1895) non può rispondere.

In retrospettiva, come scrive Stillwell (2010), a causa della costruzione di Poincaré della teoria dell’omologia e dell’istituzione del gruppo fondamentale, l’analisi Situs è giustamente considerata come l’origine della topologia algebrica. Per quanto riguarda la teoria dell’omologia, l’importanza della sua istituzione era che ha rivelato che esiste una struttura algebrica che dà origine ai numeri di Betti (e quindi alla caratteristica di Eulero). La scoperta del gruppo fondamentale ha evidenziato la mancanza di potenza dei numeri di Betti come indicatore delle proprietà delle varietà.

Primo e secondo supplemento all’analisi Situs (1899-1900)

L’analisi Situs, sebbene brillantemente inventiva, è stata fornita non senza confusione o errore (Stillwell, 2010). Esplorando in qualche modo una “terra di nessuno”, Poincaré solo in seguito scoprì che i numeri di Betti erano solo una parte della storia, una svista di cui sarebbe stato a conoscenza tre anni dopo con la tesi di un dottorando danese, Poul Heegaard.

Poincaré scrisse il suo primo supplemento, intitolato Complément a l’analysis situs (“Supplemento all’analisi Situs”) nel 1899. Il documento è stato motivato dalla scoperta di Heegaard (1898) che la nuova definizione di Poincaré di Betti numeri potrebbe essere dimostrato di essere in conflitto con il suo teorema di dualità. Heegaard contrappone l’esempio dello spazio proiettivo reale RP3 con l’esempio della sfera 3 e mostra che Poincaré non era riuscito a spiegare gli effetti della torsione, “torsione”. Dopo il primo movimento verso una più combinatoria teoria dell’omologia, in cui i collettori si presume di avere una struttura poliedrica, nel suo supplementi (a volte indicato da Poincaré come complementi) Poincaré finalmente rivede la sua teoria omologia di produrre torsione numeri, oltre a numeri di Betti, ha dimostrato di essere invariante utilizzando il cosiddetto Hauptvermutung argomento (due triangolazioni di un triangulable spazio di suddivisioni che sono combinatoriamente equivalente), ormai noto per essere false. L’inclusione ha rafforzato la teoria dell’omologia per essere in grado di distinguere tra collettori sottoposti a torsione l’uno dall’altro (inclusi RP3 e la 3-sfera). Poincaré ha infatti coniato il termine “torsione” attraverso una discussione su superfici non orientabili come la Möbius band (Stillwell, 2010).

Nel secondo supplemento di carta (1900), Poincaré ora più robusto teorema di omologia lo incoraggia a terminare la sua carta con la dichiarazione:

“Ogni poliedro che ha tutti i suoi numeri Betti uguali a 1 e tutte le sue tabelle orientabili Tq è semplicemente connesso, cioè omeomorfo ad un’ipersfera”

Effettivamente congetturando che

“Qualsiasi tre-collettore con omologia banale è omeomorfo alla 3-sfera”

Una prima (e errata) congettura di Poincaré sulle proprietà topologiche dei corpi tridimensionali sottoposti a deformazione.

il Terzo e quarto integratori Analysis Situs (1902)

In termini di 3-variet e successive congettura di Poincaré, la rilevanza del terzo e quarto supplementi (tranne l’espansione di Poincaré omologia di teoria e topologia algebrica) è nel loro studio del toro fasci, che risultano derivano naturalmente nello studio delle curve algebriche, la messa a fuoco del terzo supplemento “Su certe superfici algebriche” (1902a) (Stillwell, 2010).

Quinto supplemento all’analisi Situs (1904)

Poincaré pubblicò il suo quinto e ultimo supplemento al suo documento di analisi situs del 1895 nel 1904. Il lavoro riguarda le varietà tridimensionali (come il glome della nostra introduzione) e si intitola Cinquième complément à l’analysis situs. Il documento è ora noto per lo studio di Poincaré sul fatto che i collettori 3-dimensionali possano essere descritti con la stessa caratteristica distintiva dei collettori 2-dimensionali, vale a dire che ogni semplice curva chiusa nella sfera può essere deformata continuamente fino a un punto senza lasciare la sfera. Come scrive lo stesso Poincaré nella sua introduzione:

This time I confine myself to the study of certain three-dimensional manifolds, but the methods used without doubt are of more general applicability. I shall devote considerable space to certain properties of closed curves which can be traced on closed surfaces in ordinary space.

Il documento propone, non con un’indagine di 3 varietà semplicemente collegate e chiuse, ma piuttosto, con uno studio delle differenze tra omologia e teoria dell’omotopia più ampia, nel caso di curve su superfici attraverso lo studio di gruppi fondamentali (Stillwell, 2012). Il risultato è un interessante algoritmo geometrico per decidere se una curva su una superficie è omotopica a una curva semplice, il primo caso noto di applicazione della geometrizzazione alla topologia, che in seguito avrebbe ispirato il lavoro di Dehn (1910; 1912a; 1912b; 1922), Nielsen (1927; 1929; 1932) e Thurston (1979). Il documento continua a indagare varie altre proprietà delle curve sulle superfici e il loro ruolo nella costruzione di collettori tridimensionali (Stillwell, 2010).

Nelle pagine finali del documento, l’indagine di Poincaré porta a una nuova scoperta, la sfera omologica chiamata “sfera omologica di Poincaré”, una 3-molteplice con la stessa omologia della 3-sfera, ma un gruppo fondamentale diverso. Una prova di esistenza, la scoperta respinge immediatamente la congettura iniziale di Poincaré sulla relazione tra 3 varietà e 3 sfere del 1902. Costruisce l’oggetto unendo due corpi “pieni” del genere 2 (i cosiddetti handlebodies) in modo che alcune curve scelte con cura su una di esse vengano identificate con curve con proprietà molto particolari sull’altra. Da ciò, ottiene un collettore tridimensionale il cui gruppo fondamentale può essere scritto semplicemente in termini di generatori e relazioni. “Per qualche miracolo” (Stillwell, 2012), il gruppo fondamentale di Poincaré omologia sfera risulta avere generatori a e b il cui rapporto è:

a⁴ba⁻1b = b⁻2a⁻1 bagno⁻1 = 1

apparentemente del tutto asimmetrica oggetto, l’omologia sfera è infatti eccezionalmente simmetrica e facilmente dimostrato di essere banale (di dimensione maggiore o uguale a 2) impostando (a⁻1b)2 = 1, che le mappe per il 60-elemento icosaedrica gruppo a⁵ = b3 = (a⁻1)2 = 1. Contemporaneamente, consentendo ai generatori di spostarsi, si scopre che l’oggetto collassa in un singolo elemento, 1, mostrando che l’omologia del collettore deve essere banale. Quindi, la sfera dell’omologia è in realtà un collettore tridimensionale chiuso con omologia banale ma un gruppo fondamentale non banale. La scoperta di questa certezza ha ri-dimostrato per Poincaré il potere del suo gruppo fondamentale sull’omologia per distinguere le 3 varietà, e ha messo un chiodo finale nella bara per la sua prima e imperfetta congettura sull’utilità dell’omologia nel dimostrare che tutte le 3 varietà sono omeomorfe alla 3 sfera.

Poincaré conclude il quinto supplemento alla sua Analisi Situs con una domanda:

Is it possible for the fundamental group of a manifold to reduce to the identity without the manifold being simply connected?

..e un offuscamento:

“Questa domanda ci porterebbe troppo lontano.”

” Questa domanda ci porterebbe troppo lontano ” – Poincaré

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