Poincaré 선언에 대한 동기 부여 설정하는 새로운 지점의 헌신적인 수학을 토폴로지,또는 연구의 기하학적인 개체를 겪고 있는 변형’,”고무시트 기하학”,분석에서 세도 문(1895):

“에 비엔 souvent répété que la Géométrie est l’art de bien raisonner sur des 수치 mal faites;encoreces 인물,붓 ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines 조건; les 비율 peuvant être grossièrement altérées,mais les 위치를 친척 des diverses 사 ne doivent pas être bouleversées.”

즉,거기에 수학자에 대한 필요가 확실하게 우리의 앙코르 수치’심하게 그려진 수치’비록 그들의’비율이 심하게 변경 될 수 있습니다’,그’다른 부분의 상대적인 위치를 화가해서는 안’특정 조건을 충족해야합니다 확인할 수 있었다. 이 문은 토폴로지의 현대 정의와 밀접하게 정렬됩니다:

토폴로지는 스트레칭,비틀림,구김 및 굽힘과 같은 연속적인 변형 하에서 보존되지만 찢어 지거나 접착되지 않는 기하학적 물체의 특성을 연구하는 것입니다.

분석 현장(1892)

그의 첫 번째 논문(편지,정말)토폴로지에,포 인 카는 토폴로지에 첫 번째 실제 프라이머 동기를 부여 하기 위해 밖으로 설정,분석 현장(1895). 그는 약 20 년 전에 도입 된 베티 번호를 참조하여 그렇게합니다. 독자에 대한 그의 주장 또는 질문은 베티 숫자가 실제로 매니 폴드의 토폴로지 분류를 결정하는 데 충분한지 여부입니다. 그들은하지 않을 수 있습니다 이유를 보여주기 위해,그는 기본 그룹의 개념을 도입 2015 년 10 월 29 일. 비공식적으로 기본 그룹은 다음과 같은 방식으로 생각할 수 있습니다:

Start with a space (e.g. a surface), and some point in it, and all the loops both starting and ending at this point — paths that start at this point, wander around and eventually return to the starting point. Two loops can be combined together in an obvious way: travel along the first loop, then along the second. Two loops are considered equivalent if one can be deformed into the other without breaking. The set of all such loops with this method of combining and this equivalence between them is the fundamental group for that particular space.

그는 다음 3 차원 매니폴드의 가족을 설명하고 이러한 매니폴드의 특정 동일한 베티 번호를 가지고 있음을 보여줍니다,아직 다른 기본 그룹에 속하는(스틸 웰 2010,피.6). 이로부터 그는 기본 그룹이 토폴로지 불변(동형을 겪고있는 동안 보존 된 속성)인 경우 베티 숫자만으로는 3 차원 매니폴드를 서로 구별 할 수 없다고 주장합니다.

분석 현장(1895)

후대의 포인카 추측(1904)은 1895 년에 존재하지 않았다. 그러한 모든 매니 폴드는 구의 모양으로 변형 된 경우 토폴로지 특성을 보존 할 것입니다 엔-치수. 결국,동일한 결과는 리만의 시간 이후 1 차원 및 2 차원 매니폴드에 대한 사실로 알려져 있었다.

분석 현장에서는 3 년 전의 자신의 주장을 고려할 때보다 견고한 기초를 찾기 위해 베티 숫자를 수정하고 보완하기 위해 착수했다. 이 논문은 여러 경로를 통해이 목표를 향해 작동합니다. 그는 도입하여 시작,자주 연구의 경우,왜 작품 가치에 대한 정당성,그”라는 엔 치수의 기하학은 실제 객체입니다,아무도 의심 요즘. 초 공간의 수치는 일반 공간의 수치만큼 정확한 정의에 취약하며,우리가 그들을 대표 할 수 없더라도 여전히 그들을 생각하고 연구 할 수 있습니다. 따라서 3 차원 이상의 역학이 물체가 부족한 것으로 비난받는다면,하이퍼 지오메트리에 대해서도 똑같이 말할 수 없다”(스틸 웰,2010).

La Géométrie à n 치수 un objet 릴; 1717>

분석 현장에서의 여러 위대한 발견들 가운데,포인카 제 2 차 세계대전은 나중에 아벨 그룹이나 모듈과 같은 대수적 구조의 시퀀스를 토폴로지 공간과 같은 다른 수학적 대상과 연관시키는 방법인 상동 이론이라고 불리는 것에 대한 기초를 제시한다. 그는 모든 매니 폴드가 단순화와 동형 인 세포로 분해 될 수 있다고 가정하여 베티 숫자를 계산하는 시스템을 설정함으로써 거기에 도착합니다(본질적으로 사면체 엔-차원),선형 방정식을 읽고 상 동성 및 선형 대수학에 의해 해당 베티 숫자를 계산하십시오(스틸 웰 2012,557 페이지). 스콜츠(1980)가 말했듯이:”푸앵카 2010 에 의해 시작된 대수적 토폴로지의 첫 번째 단계는 대수적 관계와 연산이 항상 토폴로지 객체를 처리한다는 사실을 특징으로합니다.”

그의 새로운 상 동성 이론을 사용하여,푸앵카 2 차원적 다기관에 대한 베티 숫자에 대한 푸앵카 2 차원적 정리를 세포 분해의 이중성을 고려함으로써 제공한다. 이중성 정리는’끝’에서 동일한 거리,즉 상단 및 하단 치수의 베티 숫자가 동일하다고 말합니다. 특히,3-매니 폴드의 경우 2 차원 베티 수는 1 차원 베티 수와 같습니다(스틸 웰,2012).

같은 논문의 뒷부분에서,푸앵카 2010 은 또한 오일러 다면체 공식을 임의의 차원으로 일반화하고 그것을 그의 상동 이론(스틸웰,2010)과 관련시킨다. 그는 또 다른 기본 그룹의 새로운 예제를 제공하는 것은 그 지평선 지평선은 베티 숫자보다 더 강한 불변이다,3-구로 같은 베티 숫자와 팔면체의 반대 얼굴을 식별하여,하지만 다시,다른 기본 그룹(즉,순환 그룹). 그의 발견에서 벗어난 것은 0,1 및 2 차원 매니 폴드의 경우 베티 숫자가 서로 구별하기에 충분하지만 3 차원 매니 폴드의 경우 기본 그룹이 중요 해지는 것입니다. 이 시점에서(1895)는 대답 할 수 없습니다.

돌이켜 보면,스틸웰(2010)이 쓴 것처럼,푸앵카(2010)의 상동 이론의 구축과 기본 그룹의 확립으로 인해,분석 시투스는 대수적 토폴로지의 기원으로 올바르게 간주된다. 상 동성 이론에 관해서는,설립의 중요성은 그것이 거기에 대수 구조 베티 숫자(그래서 오일러 특성)에 상승을주는 것으로 나타났다. 기본 그룹의 발견은 매니폴드’속성의 지표로 베티 숫자의 부족 전력을 강조했다.

분석 현장 제 1 및 제 2 보충(1899-1900)

분석 현장,비록 훌륭하게 발명,혼동 또는 오류 없이 제공 했다(스틸 웰,2010). 포앵카르는 베티 숫자가 이야기의 일부일 뿐이라는 것을 나중에 알게 되었고,3 년 후 덴마크의 한 박사 과정 학생 폴 히가르드의 논문을 통해 알게 되었다.

푸앵카 1899 년에 그의 첫 번째 보충 교재를 썼다. 이 논문은 하이 가드(1898)의 발견에 의해 포 인카 스의 베티 숫자의 새로운 정의가 그의 이중성 정리와 충돌하는 것으로 표시 될 수 있다는 동기를 부여했다. 히가르드는 실제 투영공간 3 의 예와 3 구의 예를 대조하고,포앵카 3 가 비틀림,”비틀림”의 영향을 설명하지 못했다는 것을 보여준다. 다면체 구조를 가지고 있다고 가정되는 상동 이론의 더 조합적인 이론으로 먼저 이동 한 후,그의 보충 교재에서(때로는 푸앵카 제 1 차 보완으로 언급 됨)푸앵카 제 2 차 결국 베티 번호 이외에 비틀림 번호를 생성하도록 그의 상동 이론을 수정하여 소위 하우프트 버 무퉁 인수(삼각 공간의 두 삼각 측량에는 조합 적으로 동등한 세분화가 있음)를 사용하여 불변으로 판명되었으며,이제는 거짓으로 알려져 있습니다. 포함은 서로 비틀림을 겪고있는 매니 폴드를 구별 할 수 있도록 상 동성 이론을 강화했습니다. 포인카(2010)는 실제로 다음과 같은 비 방향성 표면에 대한 논의를 통해’비틀림’이라는 용어를 만들었습니다.

두 번째 보충 논문(1900)에서,포인 카의 이제 더 강력한 상 동성 정리는 그의 논문을 진술로 끝내도록 대담하게한다.:

“모든 베티 숫자가 1 과 같고 모든 테이블을 갖는 각 다면체는 단순히 연결됩니다. 초 구체에 동형”

효과적으로 추측

“사소한 상 동성을 가진 모든 3 매니 폴드는 3 구체와 동형입니다”

첫 번째(그리고 잘못된)포인카변형을받는 3 차원 몸체의 위상 학적 특성에 대한 추측.

분석 현장 세 번째 및 네 번째 보충(1902)

3-매니폴드 및 이후 포앵카 추측 측면에서,세 번째 및 네 번째 보충(포앵카 상동 이론과 대수 토폴로지에 대한 확장 이외의)의 관련성은 대수 곡선의 연구에서 자연적으로 발생하는 것으로 보이는 토러스 다발에 대한 연구에 있으며,세 번째 보충제의 초점은”특정 대수 표면에”(1902)(1902).2010 년 스틸 웰).

분석 현장 다섯 번째 보충(1904)

포인카 1904 년 그의 1895 년 분석 현장 종이에 그의 다섯 번째이자 마지막 보충 자료를 발표했다. 이 논문은 3 차원 매니 폴드(예:우리의 소개에서 글롬)에 관한 것이며,신퀴는 다음과 같은 제목입니다. 이 논문은 현재 푸앵카 3 차원 매니 폴드가 2 차원 매니 폴드와 동일한 구별 기능으로 설명 될 수 있는지,즉 구의 모든 단순한 닫힌 곡선이 구를 떠나지 않고 한 지점으로 연속적으로 변형 될 수 있는지에 대한 연구로 알려져 있습니다. 푸앵카처럼 자신의 소개에 자신이 쓴다.:

This time I confine myself to the study of certain three-dimensional manifolds, but the methods used without doubt are of more general applicability. I shall devote considerable space to certain properties of closed curves which can be traced on closed surfaces in ordinary space.

이 논문은 단순히 연결되고 닫힌 3-매니폴드에 대한 조사가 아니라 오히려 기본 그룹의 연구를 통한 표면의 곡선의 경우 상 동성과보다 광범위한 호모 토피 이론의 차이에 대한 연구를 제시합니다(스틸 웰,2012). 결과는 표면에 곡선이 단순한 곡선,나중에 덴의 작품을 고무시킬 것이다 토폴로지에 기하학을 적용하는 최초의 알려진 사례에 동형인지 여부를 결정하는 흥미로운 기하학적 알고리즘이다(1910;1912 에이;1912 비; 1922),닐슨(1927;1929;1932)및 서 스턴(1979). 이 논문은 표면에 곡선의 다양한 특성과 3 차원 매니폴드(스틸 웰,2010)를 구성에서 자신의 역할을 조사하기 위해 계속된다.

이 논문의 마지막 페이지에서,포인카 제 2 의 조사는 새로운 발견으로 이어지는데,’포인카 제 3 의 상동 구체’라고 불리는 상동 구체는 3 구체와 동일하지만 다른 기본 그룹을 가진 3-매니 폴드이다. 존재의 증거로,이 발견은 1902 년부터 3-매니폴드와 3-구 사이의 관계에 대한 포인 카의 초기 추측을 즉시 거부합니다. 그는 2 속(소위 핸들 바디라고 함)의 두 개의”채워진”몸체를 결합하여 그 중 하나에서 신중하게 선택된 특정 곡선이 다른 하나의 매우 특별한 특성을 가진 곡선으로 식별되도록하여 객체를 구성합니다. 이로부터 그는 3 차원 매니폴드를 얻으며,그 기본 그룹은 단순히 그 생성자와 관계의 관점에서 기록 될 수 있습니다. “어떤 기적에 의해”(스틸 웰,2012),포 인카 상 동성 구체의 기본 그룹은 생성기를 갖는 것으로 밝혀졌습니다 ㅏ 과 비 그 관계는 다음과 같습니다.

⁻1 = 1

겉으로는 완전히 비대칭 객체,상 동성 구는 사실 예외적으로 대칭이며 쉽게 설정하여 사소하지 않은 것으로 표시(차원 2 이상)(ㅏ⁻1 비)2=1,이는 60 원소에 매핑됩니다 면체 그룹 ㅏ 비=비 3=(ㅏ-1 비)2=1. 동시에,발전기가 출퇴근 할 수있게함으로써,객체가 단일 요소로 붕괴되는 것을 발견하게되며,1,매니폴드의 상 동성은 사소한 것이어야한다는 것을 보여줍니다. 따라서 상 동성 영역은 사실 사소한 상 동성을 가진 폐쇄 된 3 차원 매니 폴드이지만 사소한 기본 그룹은 아닙니다. 이 확실성의 발견은 포앵카가 3-매니폴드를 구별하기위한 상 동성에 대한 그의 기본 그룹의 힘을 다시 입증하고,모든 3-매니폴드가 3-구체와 동형임을 입증하는 상 동성의 유용성에 대한 그의 첫 번째 및 결함이있는 추측을 위해 관에 마지막 못을 박았다.

Poincaré 끝난 다섯 번째 보충교재를 그의 분석은 질문 세도:

Is it possible for the fundamental group of a manifold to reduce to the identity without the manifold being simply connected?

..그리고 난독 화:

“이 질문은 우리를 너무 멀리 데려 갈 것입니다.”

” 이 질문은 우리를 너무 멀리 데려 갈 것입니다.”-

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