Poincaré erklærte sin motivasjon for å etablere en ny gren av matematikken viet til topologi, eller ‘studiet av geometriske objekter gjennomgår deformasjon’, «gummi-ark geometri», i Analyse Situs med uttalelse (1895):

«På en bien souvent répété que la Géométrie est l’ art de bien raisonner sur des tall mal faites; encoreces tall, hell ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines betingelser; les proporsjoner peuvant être grossièrement altérées, mais les stillinger slektninger des diverses partene ne doivent pas être bouleversées.»

Nemlig at det var behov for matematikere å kunne fastslå med sikkerhet at våre encoreces tall ‘dårlig tegnet tall’ må tilfredsstille visse forhold slik at selv om deres ‘proporsjoner kan være grovt endret’, at ‘relative posisjoner av de ulike delene må ikke være opprørt’. Uttalelsen justerer tett med dagens moderne definisjon av topologi:

Topologi er studiet av egenskapene til et geometrisk objekt som er bevart under kontinuerlige deformasjoner, som strekking, vridning, krølling og bøyning, men ikke rive eller liming.

På Analyse Situs (1892)

I sin første papir (brev, egentlig) om topologi, poincaré setter ut for å motivere den første virkelige primer på topologi, Analyse Situs (1895). Han gjør det ved å henvise Til Betti tallene introdusert om 20 år tidligere. Hans argument, eller spørsmål til leseren, er Om Betti tall faktisk nok til å bestemme topologisk klassifisering av en manifold. For å vise hvorfor de ikke kan, introduserte han konseptet med en grunnleggende gruppe π. Uformelt kan en grunnleggende gruppe tenkes på følgende måte:

Start with a space (e.g. a surface), and some point in it, and all the loops both starting and ending at this point — paths that start at this point, wander around and eventually return to the starting point. Two loops can be combined together in an obvious way: travel along the first loop, then along the second. Two loops are considered equivalent if one can be deformed into the other without breaking. The set of all such loops with this method of combining and this equivalence between them is the fundamental group for that particular space.

han beskriver deretter en familie av tredimensjonale manifolder og viser at visse av disse manifoldene har De samme Betti-tallene, men tilhører forskjellige grunnleggende grupper (Stillwell 2010, s. 6). Fra dette hevder Han at Hvis den grunnleggende gruppen er en topologisk invariant (en egenskap bevart mens den gjennomgår homeomorfismer), Kan Ikke Betti-tallene alene skille tredimensjonale manifolder fra hverandre.

Analysis Situs (1895)

Den senere Poincaré-formodningen (1904) eksisterte faktisk ikke i 1895, Som Ifølge Stillwell (2010) trodde Poincaré på dette tidspunktet det åpenbart at alle enkeltkoblede n-dimensjonale lukkede manifolder ville være homeomorfe til n-sfæren, dvs. at alle slike manifolder ville bevare sine topologiske egenskaper hvis deformert til formen av en sfære i n-dimensjoner. Tross alt hadde det samme resultatet vært kjent for å være sant for 1-og 2-dimensjonale manifolder siden Riemanns tid.

Analysen Situs setter heller ut for å revidere Og supplere Betti tall på jakt etter et mer solid fundament, gitt sin egen argumentasjon fra tre år tidligere. Papiret arbeider mot dette målet ved flere baner. Han begynner med å introdusere, som ofte er tilfelle i forskning, en begrunnelse for hvorfor arbeidet er verdifullt, og sier at «geometrien av n dimensjoner er et reelt objekt, ingen tviler på det i dag. Tall i hyperspace er like utsatt for presis definisjon som de i vanlig rom, og selv om vi ikke kan representere dem, kan vi fortsatt tenke på dem og studere dem. Så hvis mekanikken i mer enn tre dimensjoner skal fordømmes som mangelfull i objekt, kan det samme ikke sies om hypergeometri» (Stillwell, 2010).

Det Er Bare Å Velge En Modell å Velge Mellom; personne n ‘en doute aujourd’ hui

Blant de mange store funnene I Analysis Situs presenterer Poincaré grunnlaget for det som senere skulle bli kalt homologiteori, en måte å knytte en sekvens av algebraiske strukturer som abelske grupper eller moduler med andre matematiske objekter som topologiske rom. Han kommer dit ved å sette opp et system for beregning Av Betti-tall ved å anta at hver manifold kan dekomponeres i celler som er homomorfe til simplices (i hovedsak tetraeder i n-dimensjoner), lese av lineære ligninger han kalte homologier og beregne de tilsvarende Betti-tallene ved lineær algebra (Stillwell 2012, s.557). Som Scholz (1980) sa det :» den første fasen av algebraisk topologi, innviet Av Poincaré, er preget av det faktum at dets algebraiske relasjoner og operasjoner alltid omhandler topologiske objekter.»

Ved hjelp av Sin nye homologiteori gir Poincaré next Poincaré dualitetsteoremet For Betti-tallene for en n-dimensjonal manifold, ved å vurdere dual av celledbrytningen. Dualitetsteoremet sier At Betti-tall med samme avstand fra ‘endene’ , dvs. topp-og bunndimensjoner, er like. Spesielt for en 3-manifold er det 2-dimensjonale Betti-nummeret det 1-dimensjonale Betti-nummeret (Stillwell, 2012).

Senere i samme papir gir Poincaré også en generalisering Av euler polyhedron-formelen til vilkårlige dimensjoner, og relaterer den til hans homologiteori (Stillwell, 2010). Han gir også nye eksempler på grunnleggende grupper som fastslår at π er en sterkere invariant enn Betti-tallene, ved å identifisere motsatte ansikter av et oktaedron med de samme Betti-tallene som 3-sfæren, men igjen, en annen grunnleggende gruppe (nemlig den sykliske gruppen). Take-away fra hans funn er at For 0-, 1 – og 2-dimensjonale manifolder Er Betti-tallene nok til å skille dem mellom hverandre, men for tredimensjonale manifolder blir den grunnleggende gruppen viktig. Hvor viktig kan Ikke Poincaré på dette punktet (1895) svare.

I ettertid, som Stillwell (2010) skriver, er Analysis Situs med rette ansett som opprinnelsen til algebraisk topologi På Grunn Av Poincaré sin konstruksjon av homologiteori og etableringen av grunngruppen. Når det gjelder homologiteori, var betydningen av etableringen at den avslørte at det er en algebraisk struktur som gir opphav Til Betti-tallene (og Så euler-karakteristikken). Oppdagelsen av den grunnleggende gruppen fremhevet den manglende kraften Til Betti-tall som en indikator på manifoldernes egenskaper.

Første og andre tillegg Til Analyse Situs (1899-1900)

Analyse Situs, selv om briljant oppfinnsom, ble gitt ikke uten forvirring eller feil (Stillwell, 2010). Utforske i noe av en ‘ingenmannsland’, Poincaré bare senere kom til å oppdage At Betti tallene var bare en del av historien, en forglemmelse som han ville bli gjort oppmerksom på tre år senere med avhandlingen av en dansk doktorgradsstudent, Poul Heegaard.

Poincaré skrev sitt første tillegg, med tittelen Complementé a l ‘ analyse situs («Supplement Til Analysen Situs») i 1899. Papiret var motivert av oppdagelsen Av Heegaard (1898) At Poincaré nye definisjon Av Betti-tall kunne vise seg å være i strid med hans dualitetsteorem. Heegaard kontrasterer eksemplet på det virkelige projektive rommet RP3 med eksemplet på 3-sfæren og viser At Poincaré ikke hadde tatt hensyn til effekten av torsjon, «vridning». Etter først å bevege seg mot en mer kombinatorisk teori om homologi, der manifolder antas å ha en polyhedral struktur, i sine kosttilskudd (noen ganger referert Til Av Poincaré som komplementer) Poincaré slutt reviderer sin homologi teori for å produsere torsjon tall i Tillegg Til Betti tall, viste seg å være invariant ved hjelp av den såkalte Hauptvermutung argument (noen to trianguleringer av en triangulable plass har underavdelinger som er kombinatorisk ekvivalent), nå kjent for å være falsk. Inkluderingen styrket homologiteorien for å kunne skille mellom manifolder som gjennomgår torsjon fra hverandre (inkludert RP3 og 3-sfæren). Poincaré innførte faktisk begrepet ‘torsjon’ gjennom en diskusjon av ikke-orienterbare overflater som Mö-bandet (Stillwell, 2010).

I det andre tilleggspapiret (1900) oppfordrer Poincaré ‘ s nå mer robuste homologiteorem ham til å avslutte sitt papir med uttalelsen:

«hver polyhedron som har Alle Sine Betti tall lik 1 og alle tabellene Tq orienterbare er ganske enkelt tilkoblet, dvs. homeomorphic til en hypersfære»

effektivt conjecturing det

«Enhver tre-manifold med trivial homologi er homeomorphic til 3-sfæren»

en første (og feil) Poincaré formodning om de topologiske egenskapene til tredimensjonale legemer som gjennomgår deformasjon.

Tredje Og fjerde tillegg Til Analyse Situs (1902)

når det gjelder 3-manifolder Og den senere Poincaré-formodningen, er relevansen av det tredje og fjerde supplementet (annet enn å utvide på Poincaré homologiteori og algebraisk topologi) i studiet av torusbunter, som er vist å oppstå naturlig i studiet av algebraiske kurver, fokuset på det tredje supplementet «på visse algebraiske overflater» (1902a) (stillwell, 2010).

Femte tillegg Til Analyse Situs (1904)

Poincaré publiserte sitt femte og siste tillegg til Sin Analyse situs-artikkel Fra 1895 i 1904. Papiret gjelder tredimensjonale manifolder (for eksempel glome fra introduksjonen vår) og har rett Til Cinquiè completumment à analysis situs. Papiret er nå kjent For Poincaré studie av om 3-dimensjonale manifolder kan beskrives med samme kjennetegn som 2-dimensjonale manifolder, nemlig at hver enkel lukket kurve i sfæren kan deformeres kontinuerlig til et punkt uten å forlate sfæren. Som Poincaré selv skriver i sin introduksjon:

This time I confine myself to the study of certain three-dimensional manifolds, but the methods used without doubt are of more general applicability. I shall devote considerable space to certain properties of closed curves which can be traced on closed surfaces in ordinary space.

papiret angir, ikke med en undersøkelse av bare tilkoblede, lukkede 3-manifolder, men heller med en studie av forskjellene mellom homologi og den mer omfattende homotopiteorien, når det gjelder kurver på overflater via studiet av grunnleggende grupper (Stillwell, 2012). Resultatet er en interessant geometrisk algoritme for å avgjøre om en kurve på en overflate er homotopisk til en enkel kurve, det første kjente tilfellet av å anvende geometrization til topologi, som senere ville inspirere Dehns arbeid (1910; 1912a; 1912b; 1922), Nielsen (1927; 1929; 1932), Og Thurston (1979). Papiret fortsetter å undersøke ulike andre egenskaper av kurver på overflater og deres rolle i å bygge tredimensjonale manifolder (Stillwell, 2010).

på de siste sidene i papiret fører poincaré undersøkelse til en ny oppdagelse, homologisfæren Kalt’ Poincaré homology sphere’, en 3-manifold med samme homologi som 3-sfæren, men en annen grunnleggende gruppe. Et eksistensbevis avviser funnet Umiddelbart Poincaré opprinnelige formodning om forholdet mellom 3-manifolder og 3-sfærer fra 1902. Han konstruerer objektet ved å bli med to «fylte» kropper av slekt 2 (såkalte håndbod) slik at visse nøye utvalgte kurver på en av dem blir identifisert med kurver med svært spesielle egenskaper på den andre. Fra dette oppnår han et tredimensjonalt manifold hvis grunnleggende gruppe kan skrives ned ganske enkelt i form av dets generatorer og relasjoner. «Ved et mirakel» (Stillwell, 2012), viser den grunnleggende gruppen Av Poincaré homologisfæren seg å ha generatorer a og b hvis forhold er:

a # 1b = b⁻2a⁻1ba⁻1 = 1

homologisfæren er et tilsynelatende ytterst asymmetrisk objekt, og er faktisk eksepsjonelt symmetrisk og viser seg lett å være triviell (av dimensjon 2 eller høyere) ved å sette (a⁻1b)2 = 1, som tilordner den til 60-elementets icosahedral gruppe a8 = b3 = (a⁻1b)2 = 1. Samtidig, ved å la generatorene pendle, finner man at objektet kollapser til et enkelt element, 1, som viser at homologien til manifolden må være trivial. Derfor er homologisfæren faktisk en lukket tredimensjonal manifold med trivial homologi, men en ikke-trivial grunnleggende gruppe. Oppdagelsen av denne vissheten re-demonstrert For Poincaré kraften i hans grunnleggende gruppe over homologi for å skille 3-manifolder, og sette en siste spiker i kisten for sin første og feil formodning om nytten av homologi i å demonstrere at alle 3-manifolder er homeomorphic til 3-sfære.

Poincaré avslutter det femte tillegget til Sin Analyse Situs med et spørsmål:

Is it possible for the fundamental group of a manifold to reduce to the identity without the manifold being simply connected?

..og en tåkelegging:

«dette spørsmålet ville føre oss for langt unna.»

» Dette spørsmålet ville ta oss for langt » – Poincaré

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert.