Poincaré zadeklarował swoją motywację do ustanowienia nowej gałęzi matematyki poświęconej topologii, lub „badanie obiektów geometrycznych poddawanych deformacji”, „geometria arkuszy gumy”, w analizie Situs ze stwierdzeniem (1895):

„On a bien souvent répété que la Géométrie est l’ Art de bien raisonner sur des figures mal faites; encoreces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines conditions; les proportions peuvant être grossièrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées.”

mianowicie, że istniała potrzeba, aby matematycy mogli z całą pewnością stwierdzić, że nasze figury enkorezyjne „źle narysowane figury” muszą spełniać pewne warunki, które nawet jeśli ich „proporcje mogą być rażąco zmienione”, to „względne pozycje różnych części nie mogą być zaburzone”. Twierdzenie jest ściśle zgodne ze współczesną definicją topologii:

Topologia to badanie właściwości obiektu geometrycznego, który jest zachowany pod ciągłymi deformacjami, takimi jak rozciąganie, skręcanie, zgniatanie i zginanie, ale nie rozrywanie lub klejenie.

on Analysis Situs (1892)

w swojej pierwszej pracy (letter, really) na temat topologii, Poincaré postanowił motywować pierwszy rzeczywisty elementarz na temat topologii, Analysis Situs (1895). Czyni to, odwołując się do liczb Betti wprowadzonych około 20 lat wcześniej. Jego argumentem lub pytaniem do czytelnika jest to, czy liczby Bettiego rzeczywiście wystarczają do określenia klasyfikacji topologicznej Rozmaitości. Aby pokazać, dlaczego nie mogą, wprowadził pojęcie fundamentalnej grupy π₁. Nieformalnie o fundamentalnej grupie można myśleć w następujący sposób:

Start with a space (e.g. a surface), and some point in it, and all the loops both starting and ending at this point — paths that start at this point, wander around and eventually return to the starting point. Two loops can be combined together in an obvious way: travel along the first loop, then along the second. Two loops are considered equivalent if one can be deformed into the other without breaking. The set of all such loops with this method of combining and this equivalence between them is the fundamental group for that particular space.

następnie opisuje rodzinę trójwymiarowych kolektorów i pokazuje, że niektóre z tych kolektorów mają te same liczby Bettiego, ale należą do różnych podstawowych grup (Stillwell 2010, str. 6). Na tej podstawie argumentuje, że jeśli grupa fundamentalna jest niezmiennikiem topologicznym (właściwością zachowaną podczas homeomorfizmów), to same liczby Bettiego nie mogą odróżniać trójwymiarowych Rozmaitości od siebie.

Analiza Situs (1895)

późniejsza hipoteza Poincarégo (1904) w rzeczywistości nie istniała w 1895, ponieważ według Stillwella (2010) Poincaré w tym momencie prawdopodobnie uważał za oczywiste, że wszystkie po prostu połączone N-wymiarowe kolektory zamknięte będą homeomorficzne do sfery n, tj. że wszystkie takie kolektory zachowałyby swoje właściwości topologiczne, gdyby były zdeformowane do kształtu kuli w n-wymiarach. Przecież ten sam wynik był znany dla 1-i 2-wymiarowych Rozmaitości od czasów Riemanna.

Analiza Situs zakłada raczej rewizję i uzupełnienie liczb Bettiego w poszukiwaniu solidniejszych podstaw, biorąc pod uwagę jego własną argumentację sprzed trzech lat. Gazeta pracuje nad tym celem kilkoma ścieżkami. Zaczyna od wprowadzenia, jak to często bywa w badaniach, uzasadnienia, dlaczego praca jest cenna, stwierdzając, że ” geometria n wymiarów jest obiektem realnym, nikt w to dziś nie wątpi. Figury w nadprzestrzeni są tak samo podatne na precyzyjną definicję jak te w zwykłej przestrzeni i nawet jeśli nie możemy ich reprezentować, wciąż możemy je sobie wyobrazić i badać. Jeśli więc mechanika więcej niż trzech wymiarów ma być potępiona jako brak obiektu, to samo nie można powiedzieć o hipergeometrii ” (Stillwell, 2010).

La géométrie à n dimensions a un objet réel; personne n 'en doute aujourd’ hui

wśród wielu wielkich odkryć w analizie Situs, Poincaré przedstawia podstawy tego, co później można by nazwać teorią homologii, sposobem kojarzenia sekwencji struktur algebraicznych, takich jak grupy abelowe lub moduły, z innymi obiektami matematycznymi, takimi jak przestrzenie topologiczne. Przybywa tam, ustanawiając system obliczania liczb Bettiego, zakładając, że każdy kolektor może zostać rozłożony na komórki homeomorficzne do prostych (zasadniczo czworościanów w n-wymiarach), odczytując równania liniowe, które nazwał homologiami i obliczając odpowiednie liczby Bettiego za pomocą algebry liniowej (Stillwell 2012, str. 557). Jak ujął to Scholz (1980): „pierwsza faza topologii algebraicznej, zapoczątkowana przez Poincaréego, charakteryzuje się tym, że jej algebraiczne relacje i operacje zawsze dotyczą obiektów topologicznych.”

wykorzystując swoją nową teorię homologii, Poincaré następnie dostarcza twierdzenia o dualności Poincaré ’ a dla liczb Bettiego dla N-wymiarowego kolektora, rozważając podwójność rozkładu komórki. Twierdzenie dualizmu stwierdza, że liczby Bettiego o tej samej odległości od „końców”, tj. wymiarów górnego i dolnego, są równe. W szczególności, dla trójwymiarowej liczby 2-wymiarowej Liczba Bettiego jest równa 1-wymiarowej liczbie Bettiego (Stillwell, 2012).

później w tym samym artykule Poincaré podaje uogólnienie wielościanu Eulera na dowolne wymiary i odnosi je do swojej teorii homologii (Stillwell, 2010). Podaje również nowe przykłady grup fundamentalnych, które ustalają, że π₁ jest silniejszą niezmiennikiem niż liczby Bettiego, identyfikując przeciwległe twarze ośmiościanu z tymi samymi liczbami Bettiego, co 3-sfera, ale znowu inna grupa fundamentalna (a mianowicie grupa cykliczna). Z jego odkryć wynika, że dla 0 -, 1-i 2-wymiarowych Rozmaitości liczby Bettiego wystarczają do rozróżnienia ich między sobą, ale Dla trójwymiarowych Rozmaitości Grupa fundamentalna staje się ważna. Jak ważne, Poincaré w tym momencie (1895) nie może odpowiedzieć.

z perspektywy czasu, jak pisze Stillwell (2010), ze względu na konstrukcję teorii homologii Poincarégo i ustanowienie grupy fundamentalnej, Analiza Situs jest słusznie uważana za początek topologii algebraicznej. Jeśli chodzi o teorię homologii, znaczenie jej założenia polegało na tym, że ujawniła ona istnienie struktury algebraicznej dającej początek liczbom Bettiego (a więc charakterystyce Eulera). Odkrycie grupy fundamentalnej uwydatniło brak potęgi liczb Bettiego jako wskaźnika właściwości kolektorów.

pierwszy i drugi dodatek do analizy Situs (1899-1900)

Analiza Situs, chociaż genialnie pomysłowa, została dostarczona nie bez zamieszania lub błędu (Stillwell, 2010). Dopiero później Poincaré odkrył, że liczby Bettiego są tylko częścią historii, o czym dowiedział się trzy lata później dzięki pracy duńskiego doktoranta, Poula Heegaarda.

Poincaré napisał swój pierwszy suplement, zatytułowany Complément a l ’ analysis situs („suplement do analizy Situs”) w 1899 roku. Artykuł był motywowany odkryciem Heegaarda (1898), że nowa definicja liczb Bettiego Poincaré ’ ego może być sprzeczna z jego twierdzeniem dualizmu. Heegaard kontrastuje przykład rzeczywistej przestrzeni rzutowej RP3 z przykładem 3-sfery i pokazuje, że Poincaré nie uwzględnił skutków skręcania, „skręcania”. Po pierwszym przejściu w kierunku bardziej kombinatorycznej teorii homologii, w której zakłada się, że wielościany mają strukturę wielościanową, w swoich suplementach (czasami określanych przez Poincaré jako uzupełnienia) Poincaré ostatecznie zmienia swoją teorię homologii, aby produkować liczby skrętne oprócz liczb Bettiego, okazały się niezmiennicze przy użyciu tak zwanego argumentu Hauptvermutung (dowolne dwa trójkąty przestrzeni triangulacyjnej mają podziały, które są kombinatorycznie równoważne), obecnie znane jako fałszywe. Włączenie wzmocniło teorię homologii, aby móc rozróżniać między kolektorami podlegającymi skręcaniu od siebie (w tym RP3 i 3-sferą). Poincaré rzeczywiście ukuł termin „torsion” poprzez omówienie nierównomiernych powierzchni, takich jak zespół Möbiusa (Stillwell, 2010).

w drugim dokumencie uzupełniającym (1900), Poincaré ’ s now solidniejsze twierdzenie homologiczne nakłania go do zakończenia pracy stwierdzeniem:

„każdy wielościan, który ma wszystkie swoje liczby Betti równe 1 i wszystkie jego tabele TQ są po prostu połączone, tzn. homeomorficzne do hiperspfery”

skutecznie przypuszczając, że

„dowolny Trójnik o homologii trywialnej jest homeomorficzny do 3-sfery”

pierwsze (i nieprawidłowe) przypuszczenie Poincarégo o właściwościach topologicznych ciał trójwymiarowych ulegających deformacji.

Third and fourth supplements to Analysis Situs (1902)

w kategoriach 3-kolektorów i późniejszych domysłów Poincarégo, znaczenie trzeciego i czwartego suplementu (inne niż Rozszerzanie teorii homologii Poincaré ’ a i topologii algebraicznej) jest w ich badaniu wiązek torusa, które pojawiają się naturalnie w badaniu krzywych algebraicznych, skupienie trzeciego suplementu „na pewnych powierzchniach algebraicznych” (1902a).) (Stillwell, 2010).

Fifth supplement to Analysis Situs (1904)

Poincaré opublikował swój piąty i ostatni suplement do swojej pracy Analysis situs z 1895 roku w 1904 roku. Artykuł dotyczy trójwymiarowych Rozmaitości (np. glome z naszego wstępu) i nosi tytuł Cinquième complément à l ’ analysis situs. Praca ta jest znana z badań Poincarégo nad tym, czy trójwymiarowe kolektory można opisać tą samą cechą wyróżniającą co kolektory dwuwymiarowe, a mianowicie, że każda prosta zamknięta krzywa w sferze może być deformowana w sposób ciągły do punktu bez opuszczania kuli. Jak pisze sam Poincaré we wstępie:

This time I confine myself to the study of certain three-dimensional manifolds, but the methods used without doubt are of more general applicability. I shall devote considerable space to certain properties of closed curves which can be traced on closed surfaces in ordinary space.

artykuł przedstawia Nie badanie po prostu połączonych, zamkniętych 3-kolektorów, ale raczej badanie różnic między homologią a szerszą teorią homotopii w przypadku krzywych na powierzchniach poprzez badanie grup fundamentalnych (Stillwell, 2012). Rezultatem jest interesujący algorytm geometryczny do decydowania, czy krzywa na powierzchni jest homotopowa do prostej krzywej, pierwszy znany przypadek zastosowania geometrii do topologii, który później zainspirowałby pracę Dehna (1910; 1912a; 1912b; 1922), Nielsen (1927; 1929; 1932) i Thurston (1979). W dalszej części artykułu zbadano różne inne właściwości krzywych na powierzchniach i ich rolę w konstruowaniu trójwymiarowych kolektorów (Stillwell, 2010).

na ostatnich stronach artykułu, badanie Poincaré 'a prowadzi do nowego odkrycia, sfery homologicznej zwanej „sferą homologiczną Poincaré’ a”, 3-kolektora o tej samej homologii co 3-sfera, ale innej fundamentalnej grupie. Jako dowód istnienia, odkrycie od razu odrzuca wstępne przypuszczenia Poincarégo na temat relacji między 3-kolektorami i 3-sferami z 1902 roku. Konstruuje obiekt łącząc dwa” wypełnione ” ciała rodzaju 2 (tzw. ciała ręczne) tak, że pewne starannie dobrane krzywe na jednej z nich utożsamiają się z krzywymi o bardzo szczególnych właściwościach na drugiej. Z tego uzyskuje trójwymiarowy kolektor, którego podstawową grupę można zapisać po prostu w kategoriach jej generatorów i relacji. „By some miracle” (Stillwell, 2012), fundamentalna Grupa sfery homologicznej Poincaré ’ a okazuje się mieć Generatory a i b, których relacja wynosi:

a⁴ba⁻1b = b⁻2A⁻1BA⁻1 = 1

pozornie całkowicie asymetryczny obiekt, sfera homologiczna jest w rzeczywistości wyjątkowo symetryczna i łatwo okazuje się nietrywialna (o wymiarze 2 lub wyższym) przez ustawienie (A⁻1b)2 = 1, które mapuje go do 60-elementowej grupy icosahedralnej a⁵ = b3 = (a⁻1b)2 = 1. Jednocześnie, pozwalając generatorom dojeżdżać, odkrywa się, że obiekt rozpada się na jeden element, 1, pokazując, że homologia kolektora musi być trywialna. Stąd sfera homologiczna jest w rzeczywistości zamkniętym trójwymiarowym kolektorem z trywialną homologią, ale nietrywialną grupą fundamentalną. Odkrycie tej pewności ponownie zademonstrowało Poincarému moc jego fundamentalnej grupy nad homologią dla odróżnienia 3-kolektorów i włożyło ostatni gwóźdź do trumny dla jego pierwszego i błędnego domysłu o przydatności homologii w wykazaniu, że wszystkie 3-kolektory są homeomorficzne do 3-sfery.

Poincaré kończy piąty dodatek do swojej analizy Situs pytaniem:

Is it possible for the fundamental group of a manifold to reduce to the identity without the manifold being simply connected?

..i zaciemnienie:

„to pytanie przeniosłoby nas za daleko.”

„to pytanie doprowadziłoby nas za daleko” – Poincaré

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.