Poincaré a declarat motivația lui pentru a stabili o nouă ramură a matematicii, dedicat topologie, sau ‘studiul de obiecte geometrice în curs de deformare’, „cauciuc-foaie de geometrie”, în Analiza Situs cu declarația (1895):

„Pe un bien souvent répété que la Géométrie est l’ art de bien raisonner sur des cifre mal faites; encoreces cifre, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines condiții; les proporții peuvant être grossièrement altérées, mais les poziții rudele des diverses partide ne doivent pas être bouleversées.”

și anume, că era nevoie ca matematicienii să poată determina cu certitudine că figurile noastre de encoreces ‘figuri prost desenate’ trebuie să îndeplinească anumite condiții, astfel încât, chiar dacă proporțiile lor pot fi modificate grosolan’, că’ pozițiile relative ale diferitelor părți nu trebuie să fie deranjate’. Declarația se aliniază îndeaproape cu definiția modernă a topologiei:

topologia este studiul proprietăților unui obiect geometric care se păstrează sub deformări continue, cum ar fi întinderea, răsucirea, încrețirea și îndoirea, dar nu ruperea sau lipirea.

despre analiza Situs (1892)

în prima sa lucrare (scrisoare, într-adevăr) despre topologie, Poincar XV își propune să motiveze primul primer real despre topologie, analiza Situs (1895). El face acest lucru referindu-se la numerele Betti introduse cu aproximativ 20 de ani mai devreme. Argumentul său, sau întrebarea adresată cititorului, este dacă numerele Betti sunt de fapt suficiente pentru a determina clasificarea topologică a unei varietăți. Pentru a arăta de ce nu pot, el a introdus conceptul de grup fundamental al grupului. Informal, un grup fundamental poate fi gândit în felul următor:

Start with a space (e.g. a surface), and some point in it, and all the loops both starting and ending at this point — paths that start at this point, wander around and eventually return to the starting point. Two loops can be combined together in an obvious way: travel along the first loop, then along the second. Two loops are considered equivalent if one can be deformed into the other without breaking. The set of all such loops with this method of combining and this equivalence between them is the fundamental group for that particular space.

el descrie în continuare o familie de varietăți tridimensionale și arată că unele dintre aceste varietăți au aceleași numere Betti, dar aparțin unor grupuri fundamentale diferite (Stillwell 2010, p. 6). Din aceasta, el susține că, dacă grupul fundamental este un invariant topologic (o proprietate păstrată în timp ce suferă homeomorfisme), numerele Betti singure nu pot distinge varietățile tridimensionale una de cealaltă.

analiza Situs (1895)

conjectura Poincar mai târziu (1904), de fapt, nu a existat în 1895, ca în conformitate cu Stillwell (2010), Poincar în acest moment, probabil, a crezut că este evident că toate pur și simplu conectat n-dimensional închis varietățile ar fi homeomorf la N-sferă, adică. că toate aceste varietăți și-ar păstra proprietățile topologice dacă ar fi deformate la forma unei sfere în n-dimensiuni. La urma urmei, același rezultat a fost cunoscut a fi adevărat pentru varietățile 1 și 2 dimensionale încă de pe vremea lui Riemann.

situsul de analiză își propune, mai degrabă, să revizuiască și să completeze numerele Betti în căutarea unei baze mai solide, având în vedere propria sa argumentare din ultimii trei ani. Lucrarea lucrează spre acest obiectiv prin mai multe căi. El începe prin a introduce, așa cum se întâmplă adesea în cercetare, o justificare a motivului pentru care lucrarea este valoroasă, afirmând că „geometria n dimensiuni este un obiect real, nimeni nu se îndoiește de asta în zilele noastre. Figurile din hiperspațiu sunt la fel de sensibile la o definiție precisă ca cele din spațiul obișnuit și, chiar dacă nu le putem reprezenta, le putem concepe și studia. Deci, dacă mecanica a mai mult de trei dimensiuni trebuie condamnată ca lipsită de obiect, nu același lucru se poate spune despre hipergeometrie” (Stillwell, 2010).

la G Xiftom Xiftrie xifrt n dimensiuni a un objet r xifrt; personne n ‘en doute aujourd’ hui

printre multiplele mari descoperiri din situs de analiză, Poincar XV prezintă bazele a ceea ce mai târziu s-ar numi teoria omologiei, un mod de asociere a unei secvențe de structuri algebrice, cum ar fi grupurile sau modulele abeliene, cu alte obiecte matematice, cum ar fi spațiile topologice. El ajunge acolo prin configurarea unui sistem de calcul numere Betti presupunând că fiecare varietate poate fi descompusă în celule care sunt homeomorfe la simplici (în esență tetraedre în n-dimensiuni), citind ecuații liniare pe care le-a numit omologii și calculând numerele Betti corespunzătoare prin algebră liniară (Stillwell 2012, p.557). După cum a spus Scholz (1980): „prima fază a topologiei algebrice, inaugurată de Poincar XV, se caracterizează prin faptul că relațiile și operațiunile sale algebrice se ocupă întotdeauna de obiecte topologice.”

folosind noua sa teorie a omologiei, Poincar în continuare oferă teorema dualității Poincar în secolul al XIII-lea pentru numerele Betti pentru o varietate n-dimensională, luând în considerare dublul descompunerii celulare. Teorema dualității afirmă că numerele Betti de aceeași distanță față de’ capete’, adică dimensiunile de sus și de jos, sunt egale. În special, pentru o varietate de 3, Numărul Betti cu 2 dimensiuni este egal cu numărul Betti cu 1 Dimensiune (Stillwell, 2012).

mai târziu, în aceeași lucrare, Poincar XV oferă, de asemenea, o generalizare a formulei poliedrului Euler la dimensiuni arbitrare și o raportează la teoria omologiei sale (Stillwell, 2010). El oferă, de asemenea, noi exemple de grupuri fundamentale care stabilesc că inktaktovsk este un invariant mai puternic decât numerele Betti, prin identificarea fețelor opuse ale unui octaedru cu aceleași numere Betti ca și sfera 3, dar din nou, un grup fundamental diferit (și anume grupul ciclic). Îndepărtarea descoperirilor sale este că pentru varietățile 0 -, 1-și 2-dimensionale, numerele Betti sunt suficiente pentru a le distinge între ele, dar că pentru varietățile tridimensionale, grupul fundamental devine important. Cât de important, Poincar la acest moment (1895) nu poate răspunde.

în retrospectivă, după cum scrie Stillwell (2010), datorită construcției teoriei omologiei a lui Poincar și a înființării grupului fundamental, analiza Situs este considerată pe bună dreptate ca fiind originea topologiei algebrice. În ceea ce privește teoria omologiei, importanța înființării sale a fost că a dezvăluit că există o structură algebrică care dă naștere numerelor Betti (și deci caracteristica Euler). Descoperirea grupului fundamental a evidențiat lipsa puterii numerelor Betti ca indicator al proprietăților varietăților.

primul și al doilea supliment la analiza Situs (1899-1900)

analiza Situs, deși strălucit inventiv, a fost furnizat nu fără confuzie sau eroare (Stillwell, 2010). Explorând într-o oarecare măsură țara nimănui, Poincar a descoperit abia mai târziu că numerele Betti erau doar o parte a poveștii, o supraveghere de care va fi conștientizat trei ani mai târziu cu teza unui doctorand danez, Poul Heegaard.

Poincar a scris primul său supliment, intitulat complement a l ‘ analysis situs („supliment la analiza Situs”) în 1899. Lucrarea a fost motivată de descoperirea lui Heegaard (1898) că noua definiție a numerelor Betti a lui Poincar pot fi demonstrate a fi în conflict cu teorema dualității. Heegaard contrastează exemplul spațiului proiectiv real RP3 cu exemplul sferei 3 și arată că Poincar XV nu a reușit să țină cont de efectele torsiunii, „răsucirii”. După ce s-a îndreptat mai întâi către o teorie mai combinatorie a omologiei, în care se presupune că varietățile au o structură poliedrică, în suplimentele sale (denumite uneori de Poincar XV ca complemente), Poincar XV își revizuiește în cele din urmă teoria omologiei pentru a produce numere de torsiune în plus față de numerele Betti, s-a dovedit a fi invariant folosind așa-numitul argument Hauptvermutung (orice două triangulații ale unui spațiu triangulabil au subdiviziuni echivalente combinatorial), acum cunoscut a fi fals. Includerea a întărit teoria omologiei pentru a putea distinge între varietățile care suferă torsiune una de cealaltă (inclusiv RP3 și sfera 3). Poincar a inventat într-adevăr termenul de torsiune printr-o discuție despre suprafețe neorientabile, cum ar fi banda m Oktibius (Stillwell, 2010).

în cea de-a doua lucrare suplimentară (1900), teorema de omologie acum mai robustă a lui Poincar XV îl încurajează să-și încheie lucrarea cu afirmația:

„fiecare poliedru care are toate numerele sale Betti egale cu 1 și toate tabelele sale orientabile Tq este pur și simplu conectat, adică. homeomorf la o hipersferă”

conjecturing în mod eficient că

„orice Trei-colector cu omologie trivială este homeomorf la sfera 3”

o primă (și incorectă) conjectură Poincar cu privire la proprietățile topologice ale corpurilor tridimensionale supuse deformării.

al treilea și al patrulea supliment la analiza Situs (1902)

în ceea ce privește 3-varietățile și conjectura Poincar ulterior, relevanța celui de-al treilea și al patrulea supliment (altele decât extinderea pe teoria omologiei și topologia algebrică a lui Poincar XV) se află în studiul lor asupra pachetelor de torus, care se arată că apar în mod natural în studiul curbelor algebrice, accentul celui de-al treilea supliment „pe 1902a) (Stillwell, 2010).

al cincilea supliment la analiza Situs (1904)

Poincar a publicat al cincilea și ultimul său supliment la lucrarea sa de analiză situs din 1895 în 1904. Lucrarea se referă la colectoare tridimensionale (cum ar fi glome de la introducerea noastră) și se intitulează Cinqui Xvme compliment centiment l ‘ analysis situs. Lucrarea este acum cunoscută pentru Studiul lui Poincar XV dacă varietățile 3-dimensionale pot fi descrise prin aceeași caracteristică distinctivă ca și varietățile 2-dimensionale, și anume că fiecare curbă simplă închisă din sferă poate fi deformată continuu până la un punct fără a părăsi sfera. După cum scrie Poincar însuși în introducerea sa:

This time I confine myself to the study of certain three-dimensional manifolds, but the methods used without doubt are of more general applicability. I shall devote considerable space to certain properties of closed curves which can be traced on closed surfaces in ordinary space.

Lucrarea prezintă, nu cu o investigație a 3-varietăților pur și simplu conectate, închise, ci mai degrabă cu un studiu al diferențelor dintre omologie și teoria homotopiei mai extinsă, în cazul curbelor pe suprafețe prin studiul grupurilor fundamentale (Stillwell, 2012). Rezultatul este un algoritm geometric interesant pentru a decide dacă o curbă pe o suprafață este homotopică la o curbă simplă, primul caz cunoscut de aplicare a geometrizării topologiei, care ar inspira mai târziu lucrarea lui Dehn (1910; 1912a; 1912b; 1922), Nielsen (1927; 1929; 1932) și Thurston (1979). Lucrarea continuă să investigheze diverse alte proprietăți ale curbelor pe suprafețe și rolul lor în construirea varietăților tridimensionale (Stillwell, 2010).

în ultimele pagini ale lucrării, investigația lui Poincar a condus la o nouă descoperire, sfera omologiei numită ‘Poincar a sferei omologiei a lui Poincar, o varietate de 3 cu aceeași omologie ca și sfera a 3-A, dar un grup fundamental diferit. O dovadă a existenței, descoperirea respinge imediat conjectura inițială a lui Poincar XV despre relația dintre 3-varietăți și 3-sfere din 1902. El construiește obiectul prin unirea a două corpuri” umplute ” din genul 2 (așa-numitele corpuri de mână), astfel încât anumite curbe alese cu grijă pe una dintre ele să fie identificate cu curbe cu proprietăți foarte particulare pe cealaltă. Din aceasta, el obține o varietate tridimensională al cărei grup fundamental poate fi notat pur și simplu în termeni de generatori și Relații. „Printr-un miracol” (Stillwell, 2012), grupul fundamental al sferei de omologie Poincar XV se dovedește a avea generatoarele a și b a căror relație este:

a starba-1B = b-2a-1ba⁻1 = 1

un obiect aparent cu totul asimetric, sfera omologiei este de fapt excepțional de simetrică și se arată ușor că este netrivială (de dimensiune 2 sau mai mare) prin setarea (A⁻1b)2 = 1, care o mapează la grupul icosaedric cu 60 de elemente AOL = b3 = (A-1b)2 = 1. În același timp, permițând generatoarelor să facă naveta, se constată că obiectul se prăbușește la un singur element, 1, arătând că omologia colectorului trebuie să fie banală. Prin urmare, sfera omologiei este de fapt o varietate tridimensională închisă cu omologie trivială, dar un grup fundamental non-trivial. Descoperirea acestei certitudini a demonstrat din nou pentru Poincar, puterea grupului său fundamental asupra omologiei pentru a distinge 3-varietăți și a pus un cui final în sicriu pentru prima și viciata sa presupunere despre utilitatea omologiei în demonstrarea faptului că toate cele 3-varietăți sunt homeomorfe pentru sfera 3.

Poincar XV încheie al cincilea supliment la analiza sa Situs cu o întrebare:

Is it possible for the fundamental group of a manifold to reduce to the identity without the manifold being simply connected?

..și o confuzie:

„această întrebare ne-ar duce prea departe.”

” această întrebare ne-ar duce prea departe ” – Poincar

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.